Como funciona a convexidade nos títulos de Renda Fixa?

Neste texto, iremos falar sobre mais uma medida de risco de títulos de renda fixa, a convexidade. Essa medida é um refinamento das medidas de duration que abordamos em textos anteriores. Para facilitar o entendimento, o texto está dividido nos seguintes tópicos:

• A Convexidade dos Preços dos Títulos e o Yield
• Conhecendo a fórmula da Convexidade
• Exemplo prático: Duration vs. Convexidade
• Referências

Boa leitura!

A Convexidade dos Preços dos Títulos e o Yield

A medida de duração indica que, independentemente das taxas de juros aumentarem ou diminuírem, a variação percentual aproximada do preço é a mesma. No entanto, temos que admitir que isso nem sempre é tão exato como calculado com a duration e suas variantes.

Primeiramente, vamos explicar essa confusão. Em um primeiro momento, a duração pode ser uma boa medida de como os preços dos títulos podem ser afetados devido a pequenas e repentinas flutuações nas taxas de juros (o que chamamos de yield). No entanto, a relação entre os preços dos títulos e o yield não é linear de fato.

Portanto, a convexidade é uma medida melhor para avaliar o impacto nos preços dos títulos quando existem grandes flutuações nas taxas de juros.

Exemplo gráfico

Abaixo, temos uma apresentação gráfica da convexidade de dois títulos A e B. Você pode ver que, caso tivéssemos calculado a duration, teríamos obtido a linha azul. Ou seja, uma estimativa da mudança linear do preço do título, dada uma mudança na taxa de juros.

Fonte: adaptado de Fabozzi (2012)

Ambos os títulos A e B teriam a mesma duration e poderíamos dizer que ambos iriam variar igualmente com as mudanças no yield. Entretanto, isso não é verdade! De fato, em pequenas mudanças, é praticamente impossível notar que os dois títulos são diferentes (veja a linha tracejada em verde, o preço dos títulos A e B e a estimativa da duration é praticamente a mesma). Porém, para mudanças maiores, podemos ver que a variação no preço do Título B é muito maior!

Abaixo, temos a variação no preço de um título com preço atual de V₀ = 113.6777, que paga cupons de 5%, maturidade de 20 anos e yield de 4%. Nota-se que a duration consegue captar a mudança no preço em pequenas mudanças no yield. Porém, quando temos mudanças súbitas, a mudança no preço estimada com a duration se afasta do preço real calculado com uso da fórmula da avaliação de títulos.

Nota: calculado usando a fórmula padrão de avaliação de bond

A razão para esse resultado é que a duration é, de fato, uma primeira aproximação (linear) para uma pequena mudança no yield. A aproximação pode ser melhorada usando uma segunda aproximação. Essa aproximação é a convexidade. Assim, a medida de convexidade de um título pode ser usada para aproximar a mudança de preço que não é explicada pela duração.

Conhecendo a fórmula da Convexidade

A medida de convexidade de uma ligação é aproximada usando a seguinte fórmula: